Babeş–Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár
Matematikai és Informatikai Kar  
2006-2007 tanév, 2 félév 

I.	A tantárgy adatai

A tantárgy neve: Számítógépes geometria
Kód: MMG0006
Kreditszám: 5
Hol tartják?  (előadás, szeminárium, laboratórium):
Mikor tarják? (előadás, szeminárium, laboratórium):

II.	Az oktatók adatai 
 
Előadás
Név, tudományos cím: dr. Makó Zoltán
Elérhetőség (e-mail, telefon): zmako@math.ubbcluj.ro
Fogadóóra : 
Laboratórium
Név, tudományos cím: Roth Ágoston
Elérhetőség (e-mail, telefon): 
Fogadóóra :

III.	A tantárgy leírása: 

Célok 

A hallgatók ismerjék meg a számítógépes geometria matematikai alapjait.

Tartalom 

     Áttekintés az euklidészi sík és tér geometriai transzformációiról. Homogén koordinátázák, projektív transzformációk. Vetítések geometriája. Ábrázoló geometriai alaptételek. Síkbeli idomok klasszifikációja.  Görbemodellezés. Felületek modellezése. 

Kompetenciák 

  A hallgatók olyan ismeretanyagot, fogalomrendszert és szemléletmódot sajátítsanak el, mely a számítógépes grafika szakterületen hosszabb távon is hasznosítható.  Felkészíti a hallgatókat a speciális grafikus szoftverek megfelelő önképzés után történő alkalmazására. 

IV.	Kötelező könyvészet:

1.	Andrica,D; Varga, Cs., Vacaretu, D.: Teme de geometrie, Cluj, 1997.
2.	Füzi János: 3D grafika és animáció IBM PC-n, ComputerBooks, 1995.
3.	Füzi J.: Grafikai alkalmazások Delphi nyelven, ComputerBooks, 2000.
4.	Kurusa Árpád - Szemők Árpád: A számítógépes ábrázoló geometria alapjai, Polygon, 1999.
5.	Rodica Baciu, Daniel Volovici: Sisteme de prelucrare grafică, Editura albastră, Cluj-Napoca, 1999.
6.	Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, több kiadásban.
7.	Szirmay-Kalos László: Számítógépes grafika, ComputerBooks, Budapest, 2000.
8.	Szirmay-Kalos László: Theory of three-dimensional computer graphics, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1995.

V.	Az oktatásban használt eszközök:

Számítógép, a matematika könyvtár adatbázisa, Maple szoftvercsomag, internetes adatbázisok és az oktatók személyes könyvtára.

VI.	A tevékenységek és ellenőrzések/részleges vizsgák órarendje:

Előadás

1.	A szabadvektorok tere, skaláris, vektoriális, vegyes szorzás. Egyenesek és síkok koordinátageometriája a térben.
2.	Síkbeli idomok klasszifikációja, pont egyenes kölcsönös helyzete, pont poligon kölcsönös helyzete, egyenes egyenes kölcsönös helyzete, egyenes poligon kölcsönös helyzete, poligon poligon kölcsönös helyzete.  Poligon-poligon vágás.
3.	Áttekintés az euklidészi sík és tér geometriai transzformációiról.
4.	A projektív tér. Vetítések a közönséges és a projektív térben. Kollineációk, projektív transzformációk. Centrális-axiális kollineációk. Homogén koordinátázás, projektív transzformációk. 
5.	Vetítések geometriája, párhuzamos és középpontos vetítés. Affin transzformációk.
6.	Mérőszámos ábrázolás, Monge-féle ábrázolás, axonometria, perspektíva, rotációk. Eckhart-féle eljárás.
7.	Görbemodellezés. Parametrizált görbék. Bernstein-polinomok. Polinomiális görbék, görbe foka.
8.	Hermite,  Bézier-görbe, De Casteljau-algoritmus. 
9.	Konvex burok, affin invariancia. Görbe felosztása, rangemelés.
10.	B-szplájngörbék. Cox de Boor algoritmus. 
11.	Összetett és racionális Bézier görbék. 
12.	Felületek modellezése. Parametrizált felületek. Hermite felületek 
13.	Bézier  felületek. Bézier négyszög és háromszög felületek,
14.	B-szplájnfelületek. Felületmodellek építése. A modellépítéshez rendelkezésre álló eszközök. Modellépítés különböző szabályszerűségek alapján. Szabadformájú felületek építése.

Szemináriumi gyakorlat

1.	2D és 3D grafika Maple-lel. (A beépített eljárások.) 
2.	Bresenham szakaszrajzoló algoritmus számítógépes implementációja
3.	A klasszikus ábrázoló geometriai transzformációinak számítógépes implementációja. 
4.	Parametrizált görbék differenciálgeometriája: a görbület és a torzió numerikus kiszámítása.
5.	A görbe megrajzolása a görbületből és a torzióból. 
6.	Új görbe régi görbéből: evolúta, evolvens, párhuzamos görbék, pedál görbe, stb. 
7.	De Casteljau-algoritmus számítógépes implementációja.
8.	Cox de Boor algoritmus implementációja. 
9.	Huzalvázas modellezés
10.	Palástmodellezés
11.	Coons-foltok szerkesztése

VII.	Az értékelés módja:

Két laborvizsga:  
1.	Transzformációkkal kapcsolatos részvizsga (V1[1, 10] a vizsga értékelése),
2.	Görbék és felületekkel kapcsolatos részvizsga (V2[1, 10] a vizsga értékelése). 
Egy Maple projekt bemutatása (P1[1, 10] a projekt értékelése).

A végleges jegy ((V1+V2)/2 +P1)/2 abban az esetben, ha V15 és V25 és P15, ellenkezőleg a végleges jegy 4. 

VIII.	Szervezési kérdések, a különleges esetek kezelése:

A szemináriumok látogatása 70 %-ban kötelező.  Azok a hallgatók, akik nem érték el az 5 pontot a két  részvizsga valamelyikén vagy szeretnének javítani, jelentkezhetnek egy újabb részvizsgára.  A csalás(plagizálás) kizáró jelleggel bír, azaz a vizsga sikertelennek számít.

IX.	Ajánlott, de nem kötelező könyvészet:

[1] Foley - van Dam - Feiner - Hughes: Computer Graphics, Addison-Wesley, 1995.
[2] O'Rourke, J.: Computational Geometry in C, Cambridge University Press, 1994. 
[3] Preparata, F.P. - Shamos, M.I.: Computational Geometry, Springer, 1985. 
[4] Farin,G.E.: Curves and Surfaces for CAGD. A Practical Guide, 5th ed., Morgan Kaufmann (2002).
[5] Goodman, J. - O'rourke, J. (eds.): Handbook of Discrete and Computational Geometry, CRC Press, 1997.
[6] De Berg, M. - Van Krefeld, M. - Overmars, M. - Schwarzkopf, O.: Computational Geometry, (2nd edition), Springer, 2000.
[7] A Wikipédia honlapja: http://hu.wikipedia.org
[8] A prog.hu honlapja:  http://www.prog.hu/cikkek/katalog/4120/3D+jatek-grafika.html