Babeş–Bolyai Tudományegyetem Kolozsvár
Matematikai és Informatikai Kar  
 _____I._______  tanév,    _II._ .  félév 

I.	A tantárgy adatai

A tantárgy neve: Geometria
Kód: MMG0002
Kreditszám: 6
Hol tartják?  (előadás, szeminárium, laboratórium): 	, szem.: Mathematicum, ∏ terem;
Mikor tarják? (előadás, szeminárium, laboratórium):	, szem.: szerda 16-18 óra

II.	Az oktatók adatai 
 
Előadás
Név, tudományos cím:  Varga Csaba, Dr.
Elérhetőség (e-mail, telefon): csvarga@cs.ubbcluj.ro
Fogadóóra : kedd 12-14
Szeminárium
Név, tudományos cím:  Nagy Magdolna
Elérhetőség (e-mail, telefon): babu31n@yahoo.com, 0745-991652
Fogadóóra :
Laboratórium
Név, tudományos cím: 
Elérhetőség (e-mail, telefon):
Fogadóóra :
         
III.	A tantárgy leírása: 
[Célja, tartalma, milyen kompetenciát biztosít, az órán (előadás, szeminárium laboratórium) használt módszerek – 10-20 sor].
A tantárgy felépítése a következő célok szerint történt:
		1.  tegye lehetővé a vektoralgebra alkalmazását a sík és a  háromdimenziós tér  analitikus      
                                  geometriájának tanulmányozásában
		2.  tegye lehetővé a  sík és a  háromdimenziós tér  affin transzformációinak analitikus leírását
                    	3.  nyújtson betekintést a  projektív geometria elemeibe és a  projektív transzformációk                  
                                  elméletébe
4.	nyújtson betekintést a görbék és felületek elméletébe 
5.	ismertesse  a számítógépes grafikához szükséges geometriai fogalmakat és elemeket

IV.	Kötelező könyvészet:
 [Teljes és pontos adatok, elérhetési mód  (akár internetcím is) – max. 10 cím].
1.	D. Andrica, L. Ţopan – Analytic Geometry, Cluj University Press, 2004
2.	D. Andrica, Cs. Varga,  Văcăreţu, D. Teme  alese de geometrie, Ed. Plus, 2002, p.230.,
       ISBN 937-85265- 8-2 
3.	I. Mezei, Cs. Varga, Görbék és felületek elmélete, Egyetemi Jegyzet, Erdélyi Tankönyvtanács, 2002, p.149., ISBN 937-8239-48-6.
4.	Gh. Galbură, F. Radó, Geometrie,  Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979.
5.	Radó Ferenc, Orbán Béla,  A Geometria Mai Szemmel,  Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár-Napoca, 1981.   
6.	Radó F., Orbán B.,   Groze V., Vasiu A., Culegere de probleme de geometrie, Litografia Univ. „Babeş-   
              Bolyai”, Cluj-Napoca, 1979.
7.	Olosz Ferenc, Vektorok alkalmazása a geometriában, Ed. Appendix, Tg-Mures, 2003
8.	Gh. Simionescu, Noţiuni de algebră vectorială şi aplicaţii ale calculului vectorial în geometrie, Ed.Tehnică, Bucureşti, 1982
V.	Az oktatásban használt eszközök:
[Esetenként: számítógép, laboratóriumi felszerelések, különleges eszközök stb. – annak megjelölésével, hogy a kar biztosítja-e vagy nem – nem kötelező].

VI.	A tevékenységek és ellenőrzések/részleges vizsgák órarendje:
[Minden tevékenység – előadás, szeminárium, laboratórium, részleges vizsga – tematikája, dátuma és a következő adatok (tevékenységekként);
1. előadás: - lineáris tér fogalma, bázis, dimenzió, lineáris transzformációk és mátrixok közötti kapcsolat;
2. előadás: -  szabadvektor fogalma a síkban és a háromdimenziós térben, műveletek vektorokkal (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat, vektoriális szorzat, vegyes szorzat);
3. előadás: az egyenes és sík különböző egyenletei és egymáshoz viszonyított helyzetei;
4. előadás: metrikus feladatok a geometriában, két pont távolsága, egy pont és egy egyenes távolsága, két kitérő egyenes távolsága, terület és térfogatszámítás;
5. előadás:  a sík transzformációi (középponti szimmetria, tengelyes szimmetria, forgatások, homotétia) és a sík izometriáinak osztályozása;
6. előadás: a tér izometriáinak osztályozása, a projektív geometria elemei és a projektív transzformációk;
7. előadás: homogén koordináták és a sík és tér transzformációinak leírása ezek segítségével;
8. előadás: kúpszeletek kanonikus alakja, kúpszeletek általános egyenlete és azok kanonikus alakra való hozása; 
9.előadás: másodrendű felületek kanonikus alakja (ellipszoid, hiberbolikus paraboloid, nyeregfelület stb.), másodrendű felületek általános egyenletének kanonikus alakra való hozása;
10. előadás: felületek generálása (forgásfelületek, konoid felületek, kúpfelületek, hengerfelületek)
11. előadás: görbék síkban és térben, a görbék megadási módjai, érintő egyenlete és a normálsík egyenlete;
12. előadás: görbület és torzió fogalma, a Frenet – féle képletek és a Frenet – féle triéder;
13. előadás: felületek, felületek megadási módjai, érintősík és a normális fogalma, görbék egy felületen, két görbe szöge;
14. előadás: a normálgörbület és Meusnier tételei, egy felület összgörbülete és középgörbülete.

1. és 2. szeminárium: Vektoralgebra: vektoriális összefüggések bizonyítása (háromszög súlypontjának, a háromszög köré és a háromszögbe írt körök középpontjának helyzetvektora, Euler-kör, Euler-egyenes, Euler összefüggés, Gauss-Newton tétele, Papposz tétele), pontok kollinearitásának, egyenesek összefutásának, mértani helyek vektoriális bizonyítása
3. és 4. szeminárium: Vektorok skaláris, vektoriális és vegyes szorzata: azonosságok, Gibbs képlete, merőlegesség, koplanaritás
5. szeminárium: Síkok és egyenesek a térben, síksor, síknyaláb
6. és 7. szeminárium: Metrikus feladatok a geometriában, két pont távolsága, egy pont és egy egyenes távolsága, pont és sík távolsága, két kitérő egyenes távolsága, terület és térfogatszámítás, két egyenes, egyenes és sík szöge
8. és 9. A sík transzformációi:  transzláció, középponti szimmetria, tengelyes szimmetria, forgatások, szerkesztések, minimális kerületű háromszög beírása adott hegyesszögű háromszögbe, Toricelli - féle pont
10. szeminárium: Homotétia és inverzió, szerkesztések, mértani helyek, Ptolemaiosz 1. és 2. tétele, Steiner tétele, Simpson tétele
11. szeminárium: Példák felületek generálására ,forgásfelületek, konoid felületek, kúpfelületek, hengerfelületek
12. szeminárium: Görbék ábrázolása, érintő egyenlete, normális egyenlete és a normál sík egyenlete, Frenet féle triéder
13. szeminárium: Felületek különböző megadási módja, érintő sík és a normális egyenlete, 
14. szeminárium: görbék egy felületen, két görbe szöge, a normálgörbület, a felület összgörbülete és középgörbülete.

VII.	Az értékelés módja:
[A hallgatók milyen tevékenységét értékeljük (állandó ellenőrzés, zárthelyi dolgozatok, kutatási projektek, aktív részvétel stb.), ezek súlya a végleges jegyben, a vizsgáztatás módja, értékelési kritériumok]. 
1.  két kötelező dolgozat írása 5 előadás után és egy számítógépes grafikai programot készítenek a görbék ábrázolásából; a  dolgozatok és  a programot 1-10 között osztályozzuk. Ezek számtani közepe a jegy 80% -át jelentik. 
2. az évközi munka (házi feladatok, projektek) a befektetett munka függvényében beleszámítanak a végső jegybe és a jegy 20%-át jelentik. Ez 1. és a 2. pontokban kapott jegyek összege lesz a végleges jegy. 
3. Ha valaki nem teljesíti az előbbi feltételeket akkor vizsgázik az egész tananyagból.  A vizsga szóbeli és a teljes anyagot átfutó villámkérdésekből és feladatokból áll.

VIII.	Szervezési kérdések, a különleges esetek kezelése:
[Óralátogatás (esetleg), vizsgára való jelentkezés feltételei, bepótolás lehetőségei, plagizálás, másolás, csalás következményei, óvások megoldása].
1. a vizsgán való jelentkezésnek semmi előfeltétele nincs. Aki nem teljesíti az 1. és 2. pontokat az a 3. szerint vizsgázik.
2. másolás esetén a következő évben fel kell venni a tárgyat, az illető évre nincs több vizsga (ha ez nem felel meg, akkor jegyzőkönyv alapján kérjük az egyetemről való kizárást)

IX.	Ajánlott, de nem kötelező könyvészet:
[Teljes és pontos adatok, elérhetési mód  (akár internet cím is) ].

1. M. Audin – Geometry, Springer, 2003
           2. M. Berger – Geometry (vol. I şi II), Springer, 1987
    3. P. A. Blaga – Lectures on Classical Differential Geometry, Risoprint, 2005
    4. W. Boehm, H. Prautzsch – Geometric Concepts for Geometric Design,  A.K. Peters, 1994
    5. D. Dogaru – Elemente de grafică tridimensională, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, 1988
    6. P. A. Eggerton, W.S. Hall – Computer Graphics (Mathematical First Steps), Prentice Hall, 1999
    7. N.N. Golovanov – Geometriceskoe modelirovanie, Izd. Fizmatlit, 2002 (în limba rusă)
    8. C.F. Hoffmann – Geometric and Solid Modeling, Morgan Kaufmann, 1989
    9. M.E. Mortenson – Geometric Modeling  (ediţia a II-a), John Wiley,  1995
   10. D.F. Rogers, J.A. Adams – Mathematical Elements for Computer Graphics (ediţia a II-a), McGraw-Hill,    
       1990
   11. P.J. Schneider, D.H. Eberly – Geometric Tools for Computer Graphics, Morgan Kaufmann, 2003