Babeş–Bolyai Tudományegyetem Kolozsvár
Matematikai és Informatikai Kar  
I.  tanév,   I.  félév 

I.	A tantárgy adatai

A tantárgy neve: Matematikai Analízis
Kód: MMA0002
Kreditszám: 6
Hol tartják?  (előadás, szeminárium, laboratórium):
Mikor tarják? (előadás, szeminárium, laboratórium):

II.	Az oktatók adatai 
 
Előadás
Név, tudományos cím:  Dr. Kassay Gábor, egyetemi tanár
Elérhetőség (e-mail, telefon): kassay@math.ubbcluj.ro, 0726-759119
Fogadóóra :
Szeminárium
Név, tudományos cím: Szentmártoni Orsolya
Elérhetőség (e-mail, telefon):
Fogadóóra :
Laboratórium
Név, tudományos cím: 
Elérhetőség (e-mail, telefon):
Fogadóóra :

III.	A tantárgy leírása: 
[Célja, tartalma, milyen kompetenciát biztosít, az órán (előadás, szeminárium laboratórium) használt módszerek – 10-20 sor]. 
A tantárgy célja azoknak az alapvető matematikai analízisbeli fogalmak és tulajdonságoknak elsajátítása, melyekre egy informatikus hallgatónak (és egy leendő informatikusnak) szüksége van/lehet az egyetemi tanulmányaihoz (továbbképzéséhez).  
      Az előadás tartalmazza a valós számsorozatok és számsorok alapvető tulajdonságait, az egy  és többváltozós függvények differenciál és integrálszámításának alapvető kérdéseit, szélsőérték számítást, megközelítő módszereket/algoritmusokat, különös hangsúlyt fektetve a fizikai és egyéb alkalmazásokra. A többváltozós függvények esetén főleg a két és háromváltozós függvényekkel foglakozunk, mivel ezek tulajdonságai szemléletesen is érzékelhetők.  
      Az előadáson a témafelvezetésben, illetve a tételek bizonyításainál támaszkodunk a hallgatók – az általunk feltett kérdésekre adott – válaszaira. A korábbi ismeretek felfrissítésére gyakran alkalmazzuk az ismétlést. A gyakorlatok célja, mint általában, az előadáson elhangzottak elmélyítése főleg (de nem kizárólag) feladatok megoldása által.  

	
IV.	Kötelező könyvészet:
 [Teljes és pontos adatok, elérhetési mód  (akár internetcím is) – max. 10 cím].

1.	Balázs Márton, Kolumbán József: Matematikai Analízis, Dacia Könykiadó, Kolozsvár, 1978.
2.	Kassay Gábor, Kolumbán József, Marchiş Julianna: Valós számok és metrikus terek, Presa Universitară Clujeană, 2005.
3.	Szőkefalvi-Nagy B.: Valós függvények és függvénysorok, Budapest, 1965.
4.	Gh. Sireţchi: Calcul diferenţial şi integral, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1997. 
5.	Ştefan Cobzaş: Analiză matematică (calculul diferenţial), Presa Universitară Clujeană, 1997.
6.	B. Démidovitch: Requeil d’exercices et problemes d’analyse mathématique, Paris, 1965
7.	Breckner W. W.: Analiză matematică. Topologia spaţiului Rn, Universitatea din Cluj-Napoca, 1985.
8.	Fihtenholţ G. M.: Curs de calcul diferenţial şi integral, Vol. II, Editura Tehnică, Bucureşti, 1964. Vol. III, Editura Tehnică, Bucureşti, 1965.
9.	Rudin W.: Principles of Mathematical Analysis, 2nd Edition, McGraw-Hill, New York, 1964.

V.	Az oktatásban használt eszközök:
[Esetenként: számítógép, laboratóriumi felszerelések, különleges eszközök stb. – annak megjelölésével, hogy a kar biztosítja-e vagy nem – nem kötelező].

VI.	A tevékenységek és ellenőrzések/részleges vizsgák órarendje:
[Minden tevékenység – előadás, szeminárium, laboratórium, részleges vizsga – tematikája, dátuma és a következő adatok (tevékenységekként): 
-	alapfogalmak vagy kulcsszavak, 
-	a megfelelő kötelező könyvészet adatai (fejezetek, oldalak)
-	a hallgatók kötelezettségei az illető tevékenységen (kötelező olvasmányok, házi feladatok, dolgozatok)].

Az alábbi felsorolás az előadások heti tematikáját tartalmazza. A gyakorlatok követik az előadások tematikáját. Zárójelben a tematikához tartozó könyvészeti anyag található. A hallgatók minden gyakorlaton kapnak házi feladatot. A félév közepe táján egy felmérő dolgozatot írnak, amely beszámít a vizsgajegybe.  

1.   A valós számok halmaza: a természetes, egész, racionális és valós számok halmazának bevezetése (1., 2., 7.)
2.  Valós számsorozatok: intervallumok, környezetek, torlódási pontok. Valós számsorozatok konvergenciája (1., 2., 4.) 

3.  Valós számsorok: pozitív tagú sorok, konvergencia kritériumok, váltakozó előjelű sorok (1., 2., 4.)  

4.  Valós változós, valós függvények: függvények határértéke és folytonossága (1., 4., 5., 7)

5.   Valós változós, valós függvények differenciálszámítása: a derivált, magasabb rendű deriváltak, Taylor képlete, középérték-tételek (1., 4., 5., 6., 7., 8.)

6.  Valós változós, valós függvények ábrázolása: szélsőérték feladatok  (1.,  4., 6., 8.) 

7. Valós változós, valós függvények integrálszámítása: primitív függvények, Riemann-integrál,  Leibniz-Newton. képlet (1., 2., 4., 6., 8.)

8. Valós változós, valós függvények  Riemann-Stieltjes féle integrálja (1., 8.)

9. Vektor változós, vektorértékű függvények: az n-dimenziós Euklideszi tér, határérték, folytonosság, Fréchet féle differenciál (1., 2.,  4., 5., 6., 7., 9.)

10.  Parciális deriváltak: első és magasabb rendű parciális deriváltak. Taylor féle képlet  (1.,  4., 5., 6., 7.)

11.  Vektor változós, valós függvények szélsőértékei; feltételes szélsőértékek (1.,  4., 5., 6., 7.)

12.	Dupla és tripla integrálok: egyszerű tartományok a koordináta rendszer tengelyeire nézve; a helyettesítés módszere  (1., 4., 6., 8.)

13.  Improprius integrálok. Paramétertől függő integrálok (1., 4., 6., 8.)  

14.  Függvénysorozatok és függvénysorok (1., 2., 3.)

VII.	Az értékelés módja:
[A hallgatók milyen tevékenységét értékeljük (állandó ellenőrzés, zárthelyi dolgozatok, kutatási projektek, aktív részvétel stb.), ezek súlya a végleges jegyben, a vizsgáztatás módja, értékelési kritériumok]. 

A félévközi dolgozatjegy a vizsgajegy 20 %-át teszi ki. A gyakorlaton kiadott házi feladatokat rendszeresen ellenőrizzük. A félévi vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. A végső jegy (billegés esetén) a gyakorlatokon való aktív részvételtől függ.   

VIII.	Szervezési kérdések, a különleges esetek kezelése:
[Óralátogatás (esetleg), vizsgára való jelentkezés feltételei, bepótolás lehetőségei, plagizálás, másolás, csalás következményei, óvások megoldása].

 Plagizálás, másolás vagy csalás a vizsgáról való kizárást eredményezi. 

IX.	Ajánlott, de nem kötelező könyvészet:
[Teljes és pontos adatok, elérhetési mód  (akár internetcím is) ].

1.	BROWDER A.: Mathematical Analysis. An Introduction, Springer-Verlag, New York, 1996.
2.	BUCUR G., CÂMPU E., GĂINĂ S.: Culegere de probleme de calcul diferenţial şi integral, Vol. II, Editura Tehnică, Bucureşti, 1966. Vol. III, Editura Tehnică, Bucureşti, 1967.
3.	MEGAN M.: Bazele analizei matematice, Vol. I + Vol. II, Editura EUROBIT, Timişoara, 1997. Vol. III, Editura EUROBIT, Timişoara, 1998.