Universitatea "Babes-Bolyai" Cluj-Napoca
Facultatea de Matematica si Informatica
FISA DISCIPLINEI
| Probabilităţi si statistică |
trul |
|||||
| Cadre didactice indrumatoare |
|
| Obiective |
|
Insuşirea cunoştinţelor de bază din teoria probabilităţilor, urmărindu-se şi
aspectele aplicative. |
| Continut |
|
1. Camp de evenimente. Evenimente aleatoare. Spatiul de selectie. Relatii intre
evenimente. Operatii cu evenimente, proprietati. Clasificarea evenimentelor. Notiunile de corp, corp borelian, camp de evenimente, camp borelian de evenimente, proprietati. Desfacere finita si infinit numarabila, sisteme complete de evenimente. Corpuri boreliene generate de o familie de evenimente. Corpul borelian real unidimensional si multidimensional. 2. Camp de probabilitate. Definitia clasica si generala a probabilitatii. Definitia axiomatica a probabilitatii simplu aditive si complet aditive.Camp finit de probabilitate. Proprietati ale probabilitatii simplu aditive. Camp borelian de probabilitate. Proprietatea de continuitate secventiala si, respectiv proprietatea de subaditivitate completa a probabilitatii complet aditive. Criteriul de complet aditivitate al lui Kolmogorov. Probabilitati conditionate, proprietati.Formula probabilitatii totale, formula lui Bayes. Evenimente independente si dependente. Independenta sistemelor complete de evenimente. Inegalitatea lui Boole. Lema lui Borel-Cantelli. 3. Scheme clasice de probabilitate. Schema urnei lui Bernoulli. Schema urnei cu s stari si cu bila revenita. Schema urnei cu doua stari si cu bila nerevenita. Schema urnei cu s stari si cu bila nerevenita.Schema urnelor lui Poisson. 4. Variabile aleatoare: Variabile aleatoare de tip discret. Functia de repartitie, proprietati. Variabile aleatoare de tip continuu. Functia de repartitie, functia densitate de probabilitate, proprietati. Variabile aleatoare independente, proprietati. 5. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare. Valoarea medie, proprietati. Momente si momente absolute de ordinul k. Medii de ordinul k. Momente centrate de ordinul k. Dispersia unei variabile aleatoare, proprietati. Alte caracteristici numerice: mediana , moda, quantile, coeficientul de asimetrie, coeficientul de aplatizare. Corelatia, coeficientul de corelatie, proprietati. Dreptele de regresie. Inegalitatea lui Markov. Inegalitatea lui Cebasev.Inegalitatea lui Liapunov. 6. Distributii de probabilitate. Distributii de tip discret: uniforma, binomiala, hipergeometrica, Poisson, geometrica, binomiala negativa. Distributii de tip continuu: uniforma, exponentiala, Cauchy, normala, lognormala, beta, gama, hi-patrat, Student, Snedecor. 7. Siruri de variabile aleatoare. Convergenta apropape sigura. Convergenta in probabilitate. Convergenta in repartitie. Convergenta in medie de ordinul r (r2). Compararea tipurilor de convergenta. 8. Functia caracteristica. Definitia functiei caracteristice, proprietati. Functiile caracteristice ale principalelor distributii de probabilitate. Teorema de inversiune. Teorema de unicitate. Teorema de convergenta. Functii de tip pozitiv. Teorema lui Bochner. 9. Legea numerelor mari. Teoreme limita. Legea slaba a numerelor mari: Teorema lui Cebasev, teorema lui Markov, teorema lui Bernoulli, teorema lui Poisson, teorema lui Hincin, teorema lui Kolmogorov. Teoreme limita: teorema lui Lindeberg, teorema lui Leapunov. Teorema locala si globala Moivre-Laplace. 10. Statistică descriptivă. Indicatori statistici. Culegere, reprezentarea si prelucrarea datelor statistice. Distribuţie statistică. Parametrii distribuţiilor statistice (medie, dispersie, mediană, cuantile, corelaţie, coeficient de corelaţie, regresie, curbe de regresie, drepte de regresie). 11. Teoria selecţiei. Sondaje. Funcţii de selectie. Medie de selecţie. Dispersie de selecţie. Moment de selecţie. Moment centrat de selecţie. Funcţie de repartiţie de selecţie. Teorema lui Glivenko. Teorema lui Kolmogorov. 12. Teoria estimaţiei. Funcţii de estimatie. Estimatori absolut corecţi şi estimatori corecţi. Statistici suficiente. Cantitatea de informaţie a lui Fisher. Inegalitatea Rao-Cramer. Metode de estimare a parametrilor (metoda momentelor, metoda verosimlităţii maxime, metoda minimului X-pătrat, metoda intervalelor de încredere, metoda intervalelor de încredere pentru selecţii mari). 13. Verificarea ipotezelor statistice. Teste pentru verificarea ipotezelor statistice. Regiune critică. Puterea unui test. Eroare de genul I şi eroare de genul II. Lema Neyman-Pearson. Testul Z şi testul T (Student) privind media teoretică. Testul raportului verosimilităţilor. Testul chi-pătrat privind dispersia teoretică. Testul F (Snedecor-Fisher) pentru compararea dispersiilor. Teste pentru compararea mediilor. Testul chi-pătrat pentru compararea mai multor caracteristici. Testul chi-pătrat pentru tabele de contigenţă. Testul de concordanţă Kolmogorov-Smirnov. |
| Bibliografie |
|
1. BLAGA, PETRU: Calculul probabilităţilor. Culegere de probleme. Cluj-Napoca: Universitatea "Babeş-Bolyai" Cluj-Napoca, 1984.
2. BLAGA, PETRU - RĂDULESCU, MARCEL: Calculul probabilităţilor. Cluj-Napoca: Universitatea "Babeş-Bolyai" Cluj-Napoca, 1987. 3. CIUCU, G. - CRAIU, V. - SĂCUIU, I.: Probleme de teoria probabilităţilor. Bucureşti: Editura Tehnică, 1974. 4. DUMITRESCU, M. - FLOREA, D.- TUDOR, C.: Probleme de teoria probabilitătilor şi statistică matematică. Bucureşti: Editura Tehnică, 1985. 5. FELLER, W.: An introduction to probability theory and its applications, Vol.I-II. New York: John Wiley, 1970-1971. 6. GNEDENKO, B.V.: The theory of probability. Moscow: Mir Publishers, 1976. 7. IOSIFESCU, M. - MIHOC, GH. - THEODORESCU, R.: Teoria probabilităţilor şi statistică matematică. Bucuresti: Editura Tehnică, 1966. 8. LISEI, HANNELORE: Probability theory. Cluj-Napoca: Casa Cărţii de Ştiinţă, 2004. 9. MIHOC, ION: Calculul probabilităţilor şi statistică matematică. P. I-II: sCluj-Napoca: Universitatea "Babeş-Bolyai" Cluj-Napoca, 1994. 10. SHIRYAEV, A.N.: Probability. New York: Springer (2nd ed.), 1995. |
| Evaluare |
|
Nota finala se constituie din urmatoarele verificari:
- examen la sfarsitul semestrului care cuprinde: - proba scrisa, la rezultatul careia se cumuleaza punctele stabilite pe baza activitatii din timpul semestrului. - proba orala, pentru studentii care nu au obtinut nota de promovare dupa proba scrisa sau pentru cei care doresc marirea notei obtinute la proba scrisa, nota finala, in aceasta situatie, fiind media aritmetica de la cele doua probe (scris si oral) la care se adauga punctele obtinute pe baza activitatii din timpul semestrului. - evaluarea activitatii din timpul semestrulului, care are calificativele: - foarte bine (2-3 puncte cumulate la nota finala); - bine (1-2 puncte cumulate la nota finala); - satisfacator (0.5-1 puncte cumulate la nota finala); - nesatisfacator (0 puncte cumulate la nota finala). |