Universitatea "Babeş-Bolyai" din Cluj-Napoca

Facultatea de Matematică şi Informatică
FISA DISCIPLINEI

Geometrie riemanniană Riemannian geometry
Cod
Semes-
trul
Ore: C+S+L
Credite
Tipul
Sectia
MG004
5
2+1+0
6
optionala
Matematică
(Mathematics)
Cadre didactice indrumatoare Teaching Staff in Charge
Prof. Dr. ANDRICA Dorin, dandrica@math.ubbcluj.ro
Conf. Dr. VARGA Csaba Gyorgy, csvarga@cs.ubbcluj.ro
Obiective Aims
Cursul are ca scop constructia principalelor instrumente necesare in studiul geometriei Riemanniene. Cursul este orientat in urmatoarele directii: campuri Jacobi, imersii izometrice, spatii de curbura constanta, variatia integralei de energie, teorema de comparare Rauch-Riemann, teorema de index a lui Morse si teorema sferei.
The main purpose of the course consists in construction of the principal instruments which are necessary in studying the Riemann geometry. The following notions and results are studied: Jacobi fields, isometric inversions, constant curvature spaces, the variation of the energy integral, Rauch-Riemann comparation theorem, Morse index theorem, the sphere theorem.
Continut
1.Varietati riemanniene si pseudoriemanniene. Exemple. Ecuatiile Euler-Lagrange ale unei functionale de tip integrala. Geodezice pe o varietate riemanniana. Conexiune riemanniana. Transport paralel Levi-Civita. Tensorul lui Riemann si curbura riemanniana.
2.Campuri Jacobi: Ecuatia lui Jacobi. Puncte conjugate. A doua forma fundamentala. Ecuatia fundamentala.
3. Varietati Riemann complete: Teorema lui Hopf-Rinow. Teorema lui Hadamard. Spatii hiperbolice. Izometriile spatiilor hiperbolice. Prima si a doua formula de variatie pentru integrala de energie. Teorema de comparare a lui Rauch si aplicatii. Teorema indexului a lui Morse. Teorema sferei.
Bibliografie
1. Carmo, M. do, Riemannian Geometry, Birkhausel, Boston, Berlin, 1992.
2. Gh. Gheorghiev, V. Oproiu, Varietati finit si infinit dimensionale, vol.I,II, Ed.Academiei R.S.R., 1976, 1979.
3. Doubrovine B., Novikov S., Fomenko A., Geometrie contemporaine, vol.I,II,III, Ed. Mir, 1985.
4. P. Sandovici, M. Tarina, Curs de Geometrie diferentiala, vol.I,II, (lito), Cluj-Napoca, 1974, 1976.
Evaluare Assessment
Examen, 2 lucrari de control in timpul semestrului.
Exam.